좌표 변환 행렬 ( 정규직교기저에서의 )

■ 정규 직교 기저란?



정규직교 기저란 위의 벡터 v1, v2 처럼 길이가 1이고(정규) 서로 수직인(직교) 벡터들을 정규직교 기저라한다. 그리고 여기서는 정규 직교 기저를 x축 y축 같은 하나의 좌표축으로 볼것이고, 그래서 그 좌표계가 변했을때 원래의 x축 y축의서의 어떠한 점 P는 변환 좌표축 x'과 y'축에서 어떻게 표현되고 그것을 어떻게 구할수있을지를 살펴볼것이다.

■ 정규 직교 기저와 좌표

우리가 일반적으로 쓰는 2차원의 데카르트 좌표계에서 어떠한 점 P( 2, 1) 이 있다고 해보자. 그리고 x, y축이 각각 v1(1, 0), v2(0, 1)이란 정규 직교 기저로 이루어져있다고 해보면,



이렇게 말이다, 사실 점 P는



이렇게 좌표축 v1, v2의 스칼라 곱 형태로 표현될수 있다는 것을 확인할수가 있다. 그리고 그 스칼라값 1과 2가 v1과 v2를 축으로가지는 좌표계에서 (x, y) 인것도 확인할수가있다. 이것은 이 좌표축이 변했을때도 마찬가지이다.



이런식으로 v1, v2가 반시계 방향으로 90도 회전하여 위와같이 v'1, v'2 가 되었다고 해보자. v1, v2에서 좌표 점 P는 위와같이 v'1, v'2 에서는 P'이 되는것을 확인할수가있다. 그리고 그것을 식으로 써보면



결국 위와같다는것을 확인할수가있다. 즉 변한된 좌표축( 회전된 )에서의 새로운 점 P'를 구하는것은 결국 표준 좌표축 에서의 점 P가 어떻게 새로운 좌표축의 합과 스칼라곱으로 표현되는지를 찾는 문제가된다.

* 표준 좌표축이란 용여가 맞는지는 모르겠지만, (1, 0), (0, 1) .. 같은 좌표축에서 기본적은 좌표축을  여기서는 표준 좌표축 혹은 표준 직교 기저라하겠다. 

■ 정규 직교 기저와 정사영

합과 스칼라곱으로 표현된다는 것은 결국 새로운 좌표축에 곱해질 어떤 스칼라 값을 찾냐의 문제인데, 어떻게 이 스칼라 값을 찾을수있을까?



이 그림을 잘보도록하자. 정규 직교 기저란 결국 '직교' 이기때문에, 어떠한 점 P의 원소들은( 여기서는 x, y ) 각 축에 정사영된 결과라는것을 확인할수가있다. 그리고 동시에 정규직교 기저는 길이가 1인 '정규'이기 때문에, 각각의 원소를 x, y라 놓는다면, 정사영 공식에 따라



이런식으로 표현될수 있음을 확인할수가있다. 즉 우리는 변환하려는 표준 좌표축에서의 점 P와 변환된 좌표축 v'1과 v'2.. v'n ( 혹은 원래의 좌표축들 ) 만 안다면 변환된 점 P'을 구할수있다는 것이다.

■ 좌표 변환 행렬

... 시간이 없다 나중에 쓴다.