선분과 평면의 충돌( Ray-Plane intersection )

■ 두 점이 주어졌을때 직선의 벡터 방정식

혹시 직선의 벡터 방정식을 모르는 사람이 있을까 간단히 언급하자면, 두 점이 주어졌을때



직선의 벡터 방정식은 위와같다. 시작점 p0 에서 p0 부터 p1까지인 벡터 ( p1-p0 )에 인자인 스칼라 t를 곱하므로 양쪽 방향으로 무한한 점을 표현한다.

■ 두 점이 주어졌을때 평면의 벡터 방정식

이것도 마찬가지로 간단히 언급하자면



위와 같다. 평면에 수직인 법선벡터 n과 평면위의 두점 x0, x1이 주어졌을때 n과 x1-x0이 수직이라는 관계로부터 위와같은 식을 세울수가있다. 여기서 스칼라값 d는 n·x0 의 결과이며 원점으로부터 평면과의 거리를 나타낸다.( 왜 그런지는 알아서 찾도록 하자 )

■ 평면과 반직선의 충돌


* 평면을 a 라 하고 선분을 s 라 하겠다

그림에서 보다시피 선분 s(p1-p0)에 특정한 t값을 곱한다면 빨간색으로 표시한 충돌지점에 도달할 것이고, 그래서 이때의 t값이 p0부터 충돌지점 까지의 거리가 될것이고 그 사실로부터 선분 s가 a에 충돌하는 지를 판단할수 있을것이다. (t 값이 s의 길이 보다 길다면 충돌한 것이 아니다)

어쨋든 그렇다면 위에서 언급한  직선의 방정식과, 평면의 방정식으로부터 t 값을 구해보도록하자.



충돌지점 또한 평면위의 존재하는 점이므로 평면위의 점 x1을 이렇게 선분 s를 표현하는 직선의 방정식으로 대체할수가있다. 그래서 잘 전개해보면



이렇게 t에 대한 식을 세울수가있다.