정사영 공식 (Orthogonal projection formula)

■ 정사영 공식이란

그림과 같이, n을 v에 정사영 시킨다함은 n에서 v에 수선의 발을 내려 a라는 벡터를 구하는것을 정사영이라한다. 꽤 유용한 공식이니 잘 이해하도록하자.

■ 공식



u : 사영하려는 벡터
a : 사영 당하는 벡터

■ 증명


위와 같이 벡터가 있을때



인것을 어렵지 않게 확인할수 있을 것이다. 그리고 여기서 x3은 a의 스칼라 곱 형태이므로



어떠한 스칼라 k의  곱으로 표현할수있을것이다. 즉 우리는 k의 값을 구하면 x3을 알아낼수가있다.



x2와 a는 직교하기때문에 위 식이 도출되는 것은 당연하다. 그렇다면 쭉 전개해서 k에 대한 식을 세워보자.



그리고 여기서 x3은 ka 이므로



이렇게 대입을하면 위에서 보여준 공식이 나오게된다.