Leeminsang: 투영 행렬 ( Persfective projection matrix )

■ 동차 좌표

동차좌표란 n+1 차원의 특정한 좌표들이 사영된 n차원에서는 같다(동차)라는 것을 나타내는 좌표계이다..라고 하면 뭔소리인가 싶을것다. 그래서 예를들어

이런식으로 3차원의 점 P를 2차원의 평면( ndc ) 으로 사영시켜보자. 그 결과 P는 P'이 될것이다. 그런데 이것을 자세히보면 사실 P뿐만 아니라 P를 포함한 P' 까지에 있는 모든 임의의 점 R 또한 P'로 사영되는 것을 확인할수가 있다. 즉 사영한다면 n차원의 사영된 임의의 점은 n+1 차원의 특정한 점들과 같는 것이다. 그렇다면 n차원의 사영된 좌표가 n+1의 특정한 좌표들과 같다는 사실을 n+1의 특정한 좌표로 어떻게 나타낼수 있을까 있을까? 그림을 잘보기 바란다. S부터 P까지 이어진 선이 θ 각을 가진 삼각형과 같다. y 값만 고려한다면, 즉 삼각형의 특성에 따라 임의의 점 R의 y/z 는 P의 y'/d 와 같다는 것을 확인할수가있다. 그렇기에, 다른 값들도 고려하여, n+1 의 좌표가 ( r1, r2, r3, r4, ... rn+1 ) 이라 할때 이 좌표를 ( r1/rn+1, r2/rn+1, r3/rn+1, r4/rn+1 ...rn/rn+1) 로 나타낼수가 있고 이를 동차좌표라한다.

■ 동차 좌표와 DirectX

OpenGL 이나 기타 3D API 도 그렇겠지만, DirectX 의 경우는 '이동'이란 아핀 변환을 선형변환으로 이용하기위해 약간의 꼼수(?) 로 3차원을 다루지만 4차원의 동촤 좌표를 쓰고있는 상태이다. 그에따라 DirectX 에서는 (x, y, z, w) 에서 z 가 아닌 마지막 성분인 w를 나머지 성분에 나눠 동차좌표를 나타낸다. 하지만 2차원인 NDC에 투영할시에는 w가 아닌 z값으로 나누어야 된다. 그렇기에 조금있다 보여줄 테지만, 투영 행렬을 만들때 우리는 z값을 w 값으로 보내는 약간의 꼼수를 부릴것이다.

NDC : normalized device coordinates 의 약자로 (-1, -1)~(1, 1)의 종횡비 1:1 비율을 가진 2차원 좌표계를 의미한다. 뷰 스페이스의 모든 3차원 좌표는 이 2차원 좌표계로 사영된다.

■ 뷰 포트의 종횡비

NDC 란 위에서 설명했듯, 1:1의 종횡비를 가진 정규화된 좌표계를 의미한다. 하지만 결론적으로 이 NDC는 그대로 뷰포트로 나타낼것이 아니라, 뷰포트의 해상도에 맞춰 변환하여 나타낼것이다. 왜냐하면 일반적으로 뷰 포트의 해상도는 정수형태로 NDC 보다 훨씬 큰값이며, 더 중요한것은 종횡비가 NDC 처럼 1:1 이 아닌경우가 더 많다. 해상도에 맞춰 스케일링을 해주는것은 나중문제라고 쳐도, 종횡비는 NDC에 사영시에 꼭 고려를 해줘야한다. 예를들어, 뷰포트가 2:1의 종횡비를 가졌다고 할때, 단순히 NDC의 종횡비에 맞춰 NDC에 물체를 사영시켰다면 x축이 2배로 늘어난 모습으로 뷰 포트에 나타날것이다. 그렇기에 NDC에 뷰 스페이스의 3차원 물체들을 사영시킬시에 종횡비를 고려하여 x축의 경우는 축소하여 사영시킨다. ( 물론 x축을 기준으로 y축 스케일링 해도된다. 하지만 일반적으로 y축을 기준으로 하여 x축을 스케일링한다 )

■ 투영 행렬 만들기

위에서는 NDC로 사영된다 라는 표현을 썻는데, 사실 3D에서 사영이란 3D인 뷰 스페이스에서 근 평면( near plane )으로의 사영을 뜻한다. 하지만 편의를 위해 근평면을 일반적으로 NDC로 놓고 쓰기에 NDC로 사영된다 란 표현을 쓴것이다. 그리고 여기서도 마찬가지로 근 평면을 NDC로 놓을것이다.

P = (x, y z)
P' = (x_ndc, y_ndc, z_ndc)

이 그림을 봐보자. 우리의 목표는 임의의 점 P가 사영된 근평면( ndc )의 P'을 P로 부터 구하는 것이다. 위의 동차좌표에서 설명했듯, 점 P의 y/z 는 P'의 y_ndc/d 와 같고 점 P의 x/z는 P'의 x_ndc/d 와 같다. 그렇기에

( y_ndc/d = y/z 에서 단순이 d를 오른쪽으로 옮긴것 뿐이다 )

위의 식을 도출할수가있고. 더 나아가 종횡비 ( a = width / height ) 까지 고려하면

위의 식을 얻을수가있고 그래서

A와 같은 행렬을 얻을수있다.

아마 여기서 3행 4열의 1값을 왜 넣었는가 궁금해 하는 사람이있을 것인데, 그것은 위에서 설명했다 시피 DirectX 는 4차원 동차좌표 기반이기에 기본적으로 w값을 나누기 때문이다. 즉 w' 에 z값을 넣어놀수 밖에 없다.

( 위의 식에서 w라고 적었는데, 사실 w는 그냥 1이다 )

■ Z값 구하는 식 세우기

단순히 수학적으로 생각했을때, 2차원에 투영된다 함은 z값이 남아있지 않아야 된다는 것이 맞다. 하지만 DirextX에서는 z값을 딴곳에 쓰일일이 존재하므로( z 축 정렬같은 것 ) z값을 ndc와 비슷하게 0~1 사이의 정규화된 값으로 z_ndc에 보존해놓는다. 그렇다면 z값을 어떻게 0~1의 정규화된 값으로 사상시킬수있을까 를 한번 생각해보자.
( 근평면은 0으로 원거리평면은 1로 사상된다 )

우선 시작은 행렬에 z'을 구하는 임의의 식 A 와 B가 있고, p의 z값에는 근평면의 z값인 n을 넣은 상태라고 하자. 여기서 우리의 목표는 n으로부터 B에 대한 식을 구하는 것이고, 그 다음에는 원거리 평면 f로부터 A의 식을 구하는것이다. 그럼 우선 n으로부터 B의 식을 구해보자.